Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек




Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек" Как найти угол, если даны вершины треугольника Как найти координаты пересечения высот в треугольнике Как найти координаты точек пересечения медиан

Инструкция

1
Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны.

2
Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) и C(X?,Y?,Z?). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = v((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = v((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) и AC = v((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит v((3-16)? + (5-14)? + (7-19)?) = v(-13? + (-9?) + (-12?)) = v(169 + 81 + 144) = v394 ? 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны v(15? + 12? + 6?) = v405 ? 20,12 и v(2? + 3? + (-6?)) = v49 = 7.

3
Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ? * v((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ?*v((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ?*v(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*v75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4
Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ? 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ? 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ? 19,66.

Как просто
В рубриках: Математика

Другие новости по теме:

Как найти площадь треугольника по векторам
Как найти площадь треугольника по векторам
Треугольник - это простейшая из многоугольных плоских фигур, которую можно задать с помощью координат точек в вершинах ее углов. Площадь участка плоскости, который будет ограничен сторонами этой фигуры, в декартовой системе координат можно вычислить несколькими способами. Спонсор размещения P&G
Как вычислить высоту треугольника
Как вычислить высоту треугольника
Отрезок прямой, проведенный из вершины треугольника в направлении противолежащей стороны и перпендикулярный ей называется высотой треугольника. Противоположная сторона называется основанием, а поскольку вершин и сторон у треугольника по три, то и высот по разным основаниям столько же. В зависимости
Как найти точку пересечения высот треугольника
Как найти точку пересечения высот треугольника
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. Точка пересечения трех высот носит название "ортоцентр". Понятие и свойства ортоцентра бывают полезны при решении задач на геометрические построения. Вам понадобится
Как построить высоту треугольника
Как построить высоту треугольника
Высотой треугольника называется прямая, опущенная из одной из его вершин, перпендикулярно на прямую, содержащую сторону треугольника, противолежащую этой вершине треугольника. Каждый треугольник имеет три высоты. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как построить высоту треугольника" Как решить
Как найти большую высоту
Как найти большую высоту
Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других
Как найти высоту и медиану в треугольнике
Как найти высоту и медиану в треугольнике
Треугольник – одна из простейших классических фигур в математике, частный случай многоугольника с числом сторон и вершин, равном трем. Соответственно, высот и медиан у треугольника тоже по три, а найти их можно по известным формулам, исходя из начальных данных конкретной задачи. Спонсор размещения
Как найти медиану равностороннего треугольника
Как найти медиану равностороннего треугольника
Медиана треугольника - это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой одновременно. Таким образом, нужный отрезок можно построить несколькими способами. Вам понадобится - карандаш; -
Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин
Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин
Периметр - это длина линии, ограничивающей занимаемую плоской геометрической фигурой площадь. Для треугольника, как и всех других многоугольников, это ломаная линия, составленная из его всех его сторон. Поэтому задача вычисления периметра треугольника, заданного координатами его вершин, сводится к
Как начертить высоту треугольника
Как начертить высоту треугольника
Высота треугольника - это прямая, которая проведена из одной из его вершин к противоположной стороне под углом в 90 градусов. Любой треугольник имеет 3 высоты. Но в зависимости от типа треугольника построение его высот имеет некоторые особенности. Вам понадобится Лист бумаги с изображенным
Как найти координаты пересечения высот в треугольнике
Как найти координаты пересечения высот в треугольнике
Линия, проведенная из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне, называется его высотой. Зная координаты вершин треугольника, можно найти его ортоцентр — точку пересечения высот. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти координаты пересечения высот в треугольнике" Как