Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек




Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек" Как найти угол, если даны вершины треугольника Как найти координаты пересечения высот в треугольнике Как найти координаты точек пересечения медиан

Инструкция

1
Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны.

2
Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) и C(X?,Y?,Z?). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = v((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = v((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) и AC = v((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит v((3-16)? + (5-14)? + (7-19)?) = v(-13? + (-9?) + (-12?)) = v(169 + 81 + 144) = v394 ? 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны v(15? + 12? + 6?) = v405 ? 20,12 и v(2? + 3? + (-6?)) = v49 = 7.

3
Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ? * v((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ?*v((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ?*v(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*v75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4
Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ? 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ? 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ? 19,66.

Как просто
В рубриках: Математика

Другие новости по теме:

Как найти сторону правильного треугольника
Как найти сторону правильного треугольника
«Правильным» называют треугольник, все стороны которого равны между собой, равно как и углы в его вершинах. В евклидовой геометрии углы в вершинах такого треугольника не нуждаются в вычислениях - они всегда равны 60°, а длину сторон можно вычислить по относительно несложным формулам. Спонсор
Как найти площадь треугольника по векторам
Как найти площадь треугольника по векторам
Треугольник - это простейшая из многоугольных плоских фигур, которую можно задать с помощью координат точек в вершинах ее углов. Площадь участка плоскости, который будет ограничен сторонами этой фигуры, в декартовой системе координат можно вычислить несколькими способами. Спонсор размещения P&G
Как вычислить высоту треугольника
Как вычислить высоту треугольника
Отрезок прямой, проведенный из вершины треугольника в направлении противолежащей стороны и перпендикулярный ей называется высотой треугольника. Противоположная сторона называется основанием, а поскольку вершин и сторон у треугольника по три, то и высот по разным основаниям столько же. В зависимости
Как найти площадь треугольника
Как найти площадь треугольника
Треугольник – простейший математический многоугольник, состоящий из трех вершин и сторон. Основная количественная характеристика треугольника, площадь, вычисляется несколькими способами на основе различных измерений: длин сторон и высоты, углов между сторонами, периметра, радиусов вписанной и
Как вычислить медиану в треугольнике
Как вычислить медиану в треугольнике
Медиана - геометрическое определение, которое связано с понятием треугольника. Она представляет собой отрезок, соединяющий вершину произвольного треугольника с серединой противоположной стороны. Найти или вычислить длину медианы можно, зная длины сторон произвольного треугольника. Рассмотрим
Как вычислить площадь равнобедренного треугольника
Как вычислить площадь равнобедренного треугольника
Как видно на рисунке, равнобедренным является треугольник, две боковые стороны которого равны. Найти площадь равнобедренного треугольника можно, зная длину его основания и высоты или по длине его основания и любой боковой стороны треугольника. Вам понадобится - геометрическая формула для нахождения
Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам
Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам
В треугольнике, величина угла в одной из вершин которого равна 90°, длинная сторона называется гипотенузой, а остальные две - катетами. Такая фигура можно представить как половину прямоугольника, разделенного диагональю. Это значит, что и площадь его должна быть равна половине площади
Как найти большую высоту
Как найти большую высоту
Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других
Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин
Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин
Периметр - это длина линии, ограничивающей занимаемую плоской геометрической фигурой площадь. Для треугольника, как и всех других многоугольников, это ломаная линия, составленная из его всех его сторон. Поэтому задача вычисления периметра треугольника, заданного координатами его вершин, сводится к
Как найти координаты пересечения высот в треугольнике
Как найти координаты пересечения высот в треугольнике
Линия, проведенная из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне, называется его высотой. Зная координаты вершин треугольника, можно найти его ортоцентр — точку пересечения высот. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти координаты пересечения высот в треугольнике" Как