Как найти матрицу, обратную данной




Как найти матрицу, обратную данной

Обратная матрица обозначатся А^(-1). Она существует для каждой невырожденной квадратной матрицы А (определитель |A| не равен нулю). Определяющее равенство – (А^(-1))А=А А^(-1)=Е, где Е - единичная матрица.

Вам понадобится

- бумага;
- ручка.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти матрицу, обратную данной" Как получить обратную матрицу Как найти базис системы вектор-столбцов Как решать матрицу методом гаусса

Инструкция

1
Метод Гаусса заключается в следующем. Первоначально записывается данная по условию матрица А. Справа к ней добавляется расширение, состоящее из единичной матрицы. Далее выполняется последовательное эквивалентное преобразование строк А. Действие осуществляется до тех пор, пока слева не образуется единичная матрица. Матрица, появившаяся на месте расширенной матрицы (справа) и будет являться А^(-1). При этом стоит придерживаться следующей стратегии: сперва необходимо добиться нулей снизу главной диагонали, а затем сверху.

Данный алгоритм прост при написании, но на практике к нему необходимо привыкнуть. Однако в последствие вы сможете выполнять большую часть действий в уме. Поэтому в примере все действия будут выполняться крайне подробно (вплоть до отдельного выписывания строк).

2

Как найти матрицу, обратную данной

Пример. Дана матрица (см. рис.1). Для наглядности в искомую матрицу сразу же добавлено ее расширение. Найти матрицу, обратную данной.

Решение. Все элементы первой строки умножьте на 2. Получите: (2 0 -6 2 0 0). Полученный результат необходимо вычесть из всех соответствующих элементов второй строки. В итоге у вас должны быть следующие значения: (0 3 6 -2 1 0). Поделив данную строку на 3, получите (0 1 2 -2/3 1/3 0). Запишите эти значения в новой матрице во вторую строку.

3
Целью этих операций является получение «0» на пересечении второй строки и первого столбца. Таким же образом следует получить «0» на пересечении третей строки и первого столбца, но там уже «0», поэтому переходите к следующему этапу.
Необходимо сделать «0» на пересечении третей строки и второго столбца. Для этого разделите вторую строку матрицы на «2», а затем вычтете полученное значение из элементов третей строки. Полученное значение имеет вид (0 1 2 -2/3 1/3 0 ) – это новая вторая строка.

4

Как найти матрицу, обратную данной

Теперь следует вычесть вторую строку из третьей, а полученные значения разделить на «2». В итоге у вас должна получиться следующая строка: (0 0 1 1/3 -1/6 1). В итоге проведенных преобразований, промежуточная матрица будет иметь вид (см.рис.2).
Следующий этап – преобразование «2», находящейся на пересечении второй строки и третьего столбца, в «0». Для этого умножьте третью строку на «2», а полученные значение вычитайте из второй строки. В результате новая вторая строка будет содержать следующие элементы:
(0 1 0 -4/3 2/3 -1).

5

Как найти матрицу, обратную данной

Теперь умножьте третью строку на «3» и прибавьте полученные значения к элементам первой строки. В итоге получите новую первую строку (1 0 0 2 -1/2 3/2). При этом искомая обратная матрица находится на месте расширения справа (рис.3).

Как просто
В рубриках: Математика

Другие новости по теме:

Как находить ранг матрицы
Как находить ранг матрицы
Рангом матрицы А (rang A или r(A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов. Рассмотрим матрицу А размера 3?4, значит r(A)?3. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы
Как транспонировать матрицу
Как транспонировать матрицу
По определению из курса линейной алгебры матрицей называется совокупность чисел расположенных в виде таблицы с количеством строк m и количеством столбцов n. Элементами матрицы могут быть, например комплексные или действительные числа. Матрицы обозначаются записью вида A = (aij), где aij – элемент,
Как решать матричное уравнение
Как решать матричное уравнение
Решить матричное уравнение отнюдь не так сложно, как может показаться на первый взгляд. Для того чтобы справиться с этой задачей, вам необходимо уметь перемножать и находить обратные матрицы. Поэтому для начала стоит вспомнить, как это делается. Вам понадобится - ручка; - бумага. Спонсор
Как сделать обратную матрицу
Как сделать обратную матрицу
Математика, безусловно, является «королевой» наук. Не каждый человек способен познать всю глубину ее сущности. Математика объединяет в себя множество разделов, и каждый является своеобразным звеном математической цепи. Таким же основным компонентом этой цепи, как и все другие, являются матрицы.
Как решать методом Крамера
Как решать методом Крамера
Курс линейной алгебры и аналитической геометрии - базис высшего технического образования. Многим студентам "линейка" дается довольно легко. Действительно, главное в линейной алгебре - уметь решать системы линейных уравнений. Наиболее простой способ вычисления - метод Крамера. Спонсор размещения P&G
Как находить обратную матрицу
Как находить обратную матрицу
Изучим алгоритм нахождения обратной матрицы двумя основными методами: методом Гаусса и с помощью союзной матрицы. Вам понадобится - внимательность - знание методики Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как находить обратную матрицу" Как найти расширенную матрицу Как решать линейные уравнения с
Как считать обратную матрицу
Как считать обратную матрицу
Матрица В считается обратной для матрицы А, если при их умножении образуется единичная матрица Е. Понятие «обратной матрицы» существует только для квадратной матрицы, т.е. матрицы «два на два», «три на три» и т.д. Обратная матрица обозначается надстрочным индексом «-1». Спонсор размещения P&G
Как получить обратную матрицу
Как получить обратную матрицу
Для каждой невырожденной (с определителем |A|, не равном нулю) квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица, обозначаемая А^(-1), такая, что (А^(-1))А=А, А^(-1)=Е. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как получить обратную матрицу" Как решать линейные уравнения с гауссом Как
Как найти обратную матрицу
Как найти обратную матрицу
Нахождение обратной матрицы требует навыков обращения с матрицами, в частности, умения вычислять определитель и транспонировать. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти обратную матрицу" Как найти алгебраические дополнения Как найти сумму двумерного массива Как находить определитель
Как найти собственные числа матрицы
Как найти собственные числа матрицы
Матрицы, представляющие собой табличную форму записи данных, широко применяются при работе с системами линейных уравнений. Причем число уравнений определяет количество строк матрицы, а количество переменных – порядок ее столбцов. В результате решение линейных систем сводится к операциям над